勾股术、重差术、天元术:中国古代数学家早已

2019-11-10 10:39栏目:中国史
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中国古代数学经过先秦、两汉至隋唐的持续发展,在宋元时期达到了顶峰,并在相当长的时期内居于世界领先的地位,而到了明清时期则逐渐衰落了,这是由于受当时社会政治、经济、思想以及传统数学内在局限性等因素综合作用的结果。与此同时,西方经过中世纪漫长的黑夜之后,资本主义生产获得蓬勃发展,科学技术也随着以意想不到的速度发展起来。在数学方面,十六世纪时笛卡儿创立解析几何学,此后,牛顿和莱布尼茨创立微积分学,从而完成了由常量数学到变量数学,由初等数学到高等数学,由古典数学到近代数学的转变,西方数学走到了中国数学的前面。在这种情况下,中国数学的研究方向和内容都发生了一些新的变化,其中在中国数学史上具有重要意义的事件是珠算术的发展和明代万历以后西方数学的引进。中国为改变数学的落后局面和追赶世界数学主流,长途跋涉了达三个多世纪。

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明代研治数学的人为数不少,着述也相当多。据有关书目文献记载,明代算书约有一百二十余种,其数量超过了以往的任何时代。特别是在明代,中国传统数学的一些重要典籍,如《周髀算经》、《九章算术》以及宋元数学家的着作,大多还有传本。明初编辑《永乐大典》,曾将汉至明初的各种算术分类抄入事韵算字条下,共三十六卷。清代纂修《四库全书》,戴震等从中辑录出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《数学九章》、《益古演段》等古典数学名着。《永乐大典》算字条现尚存原着第16343—16344卷,还有学者认为,现存《诸家算法及序记》是《永乐大典》第16361卷的抄本。除上列之书外,从《永乐大典》现存部分中尚可见到杨辉《详解九章算法》、《日用算法》、《续古摘奇算法》、《丁巨算法》、贾亨《算法全能集》、何平子《详明算法》、严恭《通原算法》、《透帘细草》、《锦囊启源》等着作。其中有不少是早已失传的内容,为后世保存了许多宝贵的数学史料。南京国子监还曾刊刻《算法大全》、《算法》、《九章算法》等数学着作。此外如王孝通《缉古算经》、李冶《测圆海镜》、朱世杰《四元玉鉴》等在民间也有流传。尽管有较好的文献基础,但是,明代数学家对一些古典数学名着却缺乏深入的研究,明代数学的总体水平并不高。例如宋元时所取得的诸如天元术、四元术、招差术、垛积术、大衍求一术、增乘开方法等重大数学成就,在明朝统治时期已大都少人理解,因而没有能够得到很好的继承和发展。明代数学家程大位看到开方作法本源图,说是“注释不明”,“不云如何作用”。顾应祥(着有《勾股算术》、《弧矢算术》、《测圆算术》、《测圆海镜分类释术》)看到《测圆海镜》里的天元术,说是“反复合之,无下手之处”,感到“茫然无门路可入”,只好在《测圆海镜分类释术》中舍弃了原着有关天元术的内容。这种情况反映了当时中国传统数学后继乏人和数学研究几乎停滞不前的严重程度。现在所说的明代数学的衰落也主要是指这一方面而言的。

圆面积的算法“化圆为方”

导语:

当西方的数学体系传入中国,中国的学者在感叹其先进而自成体系时,也对中国古代数学研究的发展脉络进行了梳理,最终认为,中国古代数学家们的“勾股术”、“重差术”、“天元术”、“四元术”等,其实也就是西方数学的源头。

明清之际,西方的数学体系传入中国,中国的学者们在震惊之余,也不断反思,梳理中国古代数学发展的脉络,探究中国古代数学与当时的西方数学间的异同。经过一番研究比较,人们认为,当时的西方数学知识固然先进而自成体系,但其实也是中国“古已有之”的,不足为奇。康熙皇帝时代,“西学中源”说被不少学者认同,他们认为:商高、陈子等人的“勾股术”,刘徽的“重差术”,就是西方几何学的源头,李冶、朱世杰的“天元术”、“四元术”,就是西方代数学的源头,杨辉、朱世杰等人的“垛积术”,就是西方微积分的源头,等等。这种思想的形成,无疑源自长期以来中国人“古老而骄傲的”民族性格,我们的古人在数学方面付出了极大的努力,做出了巨大的贡献,让我们不要忘记这些光荣的名字:商高、陈子、刘徽、祖冲之、祖暅、沈括、秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰……

“夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,数安从出?”

1495.com,——周公

三千多年前的某一天,周朝的着名政治家周公在周王的花园里,碰到了数学家商高。

周公问商高:你们这帮数学家不是故弄玄虚的吧?什么天有多高地有多大,日月星辰一天走几度,怎么你们都知道啊?“夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,数安从出?”

商高从容回答:数学家的学问,妙就妙在并非什么都要用尺子来量,只须通过数学计算,一样可以得到正确的数字。比如这个直角三角形——他用一根牛的大腿骨和一段绳子作道具,比比划划,向周公解说:牛的大腿骨立在地上,高四尺,从牛骨的底端沿地面伸开一段绳子,使这段绳子正好长三尺,再将余下的绳子折向牛骨的顶端,请问,最后这一段斜向牛骨顶端的绳子,应该长几尺?不须用尺子量,它的长度一定是五尺。可见,数学家能算出太阳的高度来,不是什么稀奇事。

商高总结说:在一个直角三角形中,如果两条直角边的长度分别是三和四,那么斜边的长度一定是五,“勾三股四弦五”,这一个着名的论断被记载在着名的《周髀算经》一书里,这就是后人所熟知的“勾股定理”的一个特例。

勾股定理作为一个大自然的秘密,注定要被世界上各个地方的人们分别发现,或早或晚,因为这个定理就隐藏在人们的身边,在每一个直角三角形里,除非你永远不盖房子,不造马车,不修陵墓,不建金字塔,否则,这个秘密就会不可避免地被人们发现。

在中国,勾股定理的发现被归在这个名叫商高的数学家兼天文学家的名下,所以后来又有人称它为“商高定理”。当然,如果仅仅有“勾三股四弦五”这一句话,那还不算真正全面阐述了勾股定理的内容,“勾三股四弦五”只是勾股定理的一个特例。

若干年以后,周公的后人陈子也成了一个数学家,他曾详细讲述了运用勾股定理测量太阳高度的全套方案,为此,陈子说了一句更为重要的话,同样被记载在《周髀算经》这部书里,他说:“求斜至日者,以日下为句,以日高为股,句股各自乘,并以开方除之,得斜至日。”

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《海岛算经》插图

在商高和陈子的时代,人们以为脚下的大地是一个大得没边的平面,只要知道了从观察点到太阳正下方的距离,知道了太阳离地面的垂直高度,当然就可以求出太阳到观察者的直线距离了,从观察点到太阳的正下方是勾,太阳到地面的垂直距离是股,剩下观察点到太阳的距离,就是弦,如此如此,求“斜至日”的办法是“勾股各自乘,并开方除之”:勾和股先自己乘自己一遍,加起来的和再开平方,就得到了弦长。虽然和我们今天对勾股定理的表述在习惯上有所不同,但这也是对勾股定理的完整表达。

据《周髀算经》记载,陈子和他的科研小组测得日下六万里,日高八万里,根据勾股定理,求得斜至日整十万里。他进而还算出了太阳的直径,为了达到这个目的,他用一只长八尺,直径一寸的空心竹筒来观察太阳,让太阳恰好装满竹筒的圆孔,这时候太阳的直径与它到观察者之间的距离,其比例正好是竹筒直径和长度的比例,即一比八十。

可惜,这些结论都是错的!

“此亦望远起高之术……”

——陈子

看起来,陈子是当时的数学权威,《周髀算经》这本书,除了最前面一节提到商高以外,余下的部分说的都是陈子的事情。

一天,一位名叫荣方的人跑来请教陈子:听说根据先生的学问,可以算出太阳有多高多大,一天之中太阳行多少里,天有多高地有多远,总之想知道什么就知道什么,是这样吗?

陈子回答:然。

等了一阵不见下文,荣方只好再问:“方虽不省,愿夫子幸而说之。”陈子回答:其实也没什么难的,不过是运用一些算术的方法就足够了,你回去好好思考一下吧。就这样把荣方打发回去了。

荣方回去想了好几天,还是想不出有什么好办法可以算出太阳的高度来,只好又去请教陈子:“方思之不能得,敢请问之。”

陈子曰:“思之未熟。此亦‘望远起高之术’,而子不能得,则子之于数,未能通类,是智有所不及,而神有所穷。”一点也不客气地批评了荣方。

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《九章算术》书影

注意陈子所说的“望远起高之术”,这是当时人们在生产实践中,特别是大型的建设活动中,已经熟练掌握的一套测算距离和高度的方法,陈子认为同样可以用来测算太阳的高度。

倒霉的荣方思考了好几天,还是想不出问题的答案,不得不第三次去请教,陈子这才原原本本,把这一套方法向荣方讲了一遍,自此,一部《周髀算经》直到结尾,都是陈子的讲话记录。

陈子讲得信心十足,却根本没有意识到,他想当然的许多东西,其实都是错的。他不知道他脚下的大地,看似无边无际,平坦无垠,实际不过是小小一丸球,体积仅为太阳的130万分之一,以地球之微来测太阳之巨,无异于“以蠡测海”。

除了太阳的高度,陈子还讲了许多问题,天有多高地有多大,太阳一天行几度,在他那儿都有答案,所以人们认为《周髀算经》又是一部天文学着作,记载了不少当时人们已经掌握的天文学知识。书的最后部分,陈子指出:一年有三百六十五日四分日之一,有十二月十九分月之七,一月有二十九日九百四十分日之四百九十九,有零有整,不失精确,而且基本上都是对的。

所以,三千多年前的陈子,他的学问也不是那么简单的,虽然他不是全对。

“观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。”

——刘徽

到了三国魏晋时代,中国又出了一位了不起的大数学家,他的名字叫刘徽。

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《测圆海镜》书影

根据刘徽的着作,人们推断他生活的时代是“三国魏晋”,他的出身,他的生平事迹则没有人知道,但他的家庭条件比较好应该是可以肯定的,因为从小,他就有机会在老师或长辈的指导下研究数学这门学问,如他自己所称的那样:“幼习九章,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。”学习数学不是一年两年了,很有心得。

刘徽一生的数学成就斐然,其中最为人们熟知的一项,是他详细记录了用“割圆术”算出圆周率“密率”的方法,这在当时绝对是领先世界的数学成就。

刘徽也研究自商高、陈子那时就遗留下来的数学难题:“太阳到底有多高猜想”。刘徽汲取了前人的经验,提出更加完美的方案,假如我们脚下的大地真的是一个大得没边的平面,那么,用刘徽的这套办法,就会真的计算出太阳的高度来,如假包换。他的方案是:

立两表于洛阳之城,令高八尺。南北各尽平地,同日度其正中之景。以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一,所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即日去人也。

让我们简单翻译一下,大体上说,他的方案是这样:

在洛阳城外的开阔地带,一南一北,各立一根八尺高的标杆,在同一天的正午时刻测量太阳给这两根标杆的投影,以影子长短的差作分母,以标杆的长乘以标杆之间的距离做分子,两者相除,所得再加上标杆的长,就得到了太阳到地表的垂直高度。再以南边一杆的影长乘上两杆之间的距离作为分子,除以前述影长的差,所得就是南边一杆到太阳正下方的距离。以这两个数字作为直角三角形两条直角边的边长,用勾股定理求直角三角形的弦长,所得就是太阳距观测者的实际距离。

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《测圆海镜》书影2

当我们按照刘徽的思路,将他的这一套方案具体到一张几何图中的时候,我们就会惊讶地发现,他的方案看似莫名其妙,毫无逻辑可言,实则运用了相似三角形相应边的长成比例的原理,巧妙地用一个中介的三角形,将另外两个看似不相干的三角形联系在了一起。这一切,和我们今天在中学几何课本中学到的方法一模一样。而刘徽其人生活的时代,距今已近两千年了。

“虽天穹之象犹曰可度,又况泰山之高与江海之广哉!”

——刘徽

和陈子一样,刘徽测算太阳高度的方案因为前提的错误,结果当然也是错误的,不过,这套方案本身并不是为了测量太阳的高度而专门设计的,方案的原始目的只是测算地面上的高山大河,测算山有多高,河有多宽,路有多远,只要忽略地球的表面是个球面这一问题,刘徽的方案堪称完美。

曾经,在长沙马王堆的汉墓里出土过一幅帛画的地图,人们将它和实际的地形相比较,发现地图惊人准确,考古工作者还利用这张将近两千年前的地图作向导,又发现了周围一带其他的地下遗迹。这看起来似乎很难让人相信,但有了刘徽所记载的这一套测天量地的方法,这也就不算是什么奇迹了。

刘徽总结的这一套测天量地的数学方法叫做“重差”。“重差”也是刘徽的一部数学着作的书名,这部着作研究的第一个例题是测算一个海岛有多高多远的问题,因此它还有一个名字叫做“海岛算经”。这部着作篇幅不长,似乎没有出过单行本,长期以来附在《九章算术》的后面,流行于世,所以历代的《九章算术》都有十卷。

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